Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的單調區間；

（2）設函數有兩個極值點（），若恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）．

【解析】

（1）求出導函數，令，利用判別式討論的取值范圍，結合導數與函數單調性的關系即可求解.

（2）根據題意可得是方程的兩個不等正實根，由（1）知，利用韋達定理得，且，然后分離參數只需恒成立，，從而令，利用導數求出的最小值即可求解.

（1）因為，

所以．

令，，

當即時，，即，

所以函數單調遞增區間為．

當即或時，．

若，則，所以，即，

所以函數單調遞增區間為．

若，則，由，即得或；

由，即得．

所以函數的單調遞增區間為；單調遞減區間為．

綜上，當時，函數單調遞增區間為；

當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．

（2）由（1）得，

若有兩個極值點，則是方程的兩個不等正實根，

由（1）知．則，故，

要使恒成立，只需恒成立．

因為

令，則，

當時，，為減函數，所以．

由題意，要使恒成立，只需滿足．

所以實數的取值范圍．