Question

【題目】記無窮數列的前n項，，…，的最大項為，第n項之后的各項，，…的最小項為，．

（1）若數列的通項公式為，寫出，，；

（2）若數列的通項公式為，判斷是否為等差數列，若是，求出公差；若不是，請說明理由；

（3）若數列為公差大于零的等差數列，求證：是等差數列．

Answer 1

【答案】（1），，分別為；（2）是等差數列，公差；（3）詳見解析.

【解析】

（1）把代入通項公式，根據可求，，；

（2）先求出的通項公式，然后進行判定；

（3）設出的通項公式，結合數列的單調性進行證明.

（1）由題知數列的通項公式為，

可知，，，且當時是單調遞增數列，

所以，，，

所以，，分別為．

（2）由題知數列的通項公式為，

所以數列是單調遞減的數列，且，

由題知，，

因為，

故數列是單調遞增數列，

所以當時，，，

故，

所以數列的通項公式是，

即數列是等差數列，公差．

（3）由題知數列為公差大于零的等差數列，

故設且公差，

當時，有，

整理得，

若，則有，

故，

因為，所以當時，

當時，

類似的可以證明，

因為，

故有，

故數列是單調遞增數列，

所以當時，，，

故，

所以數列的通項公式是，

即數列是等差數列，公差為．