Question

【題目】已知點A是拋物線M：y2=2px（p＞0）與圓C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共點，且點A到拋物線M焦點F的距離為a，若拋物線M上一動點到其準線與到點C的距離之和的最小值為2a，O為坐標原點，則直線OA被圓C所截得的弦長為（ ）
A.2
B.2
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：圓C：x2+（y﹣4）2=a2的圓心C（0，4），半徑為a，
|AC|+|AF|=2a，
由拋物線M上一動點到其準線與到點C的距離之和的最小值為2a，
由拋物線的定義可得動點到焦點與到點C的距離之和的最小值為2a，
可得A，C，F(xiàn)三點共線時取得最小值，且有A為CF的中點，
由C（0，4），F(xiàn)（ ，0），可得A（ ，2），
代入拋物線的方程可得，4=2p ，解得p=2 ，
即有a= + = ，A（ ，2），
可得C到直線OA：y=2 x的距離為d= = ，
可得直線OA被圓C所截得的弦長為2 = ．
故選：C．
求得圓的圓心和半徑，運用拋物線的定義可得A，C，F(xiàn)三點共線時取得最小值，且有A為CF的中點，設出A，C，F(xiàn)的坐標，代入拋物線的方程可得p，由拋物線的定義可得a，求得C到直線OA的距離，運用圓的弦長公式計算即可得到所求值．