Question

數(shù)列的前項(xiàng)組成集合，從集合中任取個(gè)數(shù)，其所有可能的個(gè)數(shù)的乘積的和為（若只取一個(gè)數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），記．例如：當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）猜想，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

（Ⅰ）63； （Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）通過(guò)列舉進(jìn)行計(jì)算；（Ⅱ）先從特殊入手，
當(dāng)時(shí)，，，；
當(dāng)時(shí)，，，，所以；
從特殊到一般探求與之間的遞推關(guān)系，從而便于用數(shù)學(xué)歸納法證明.
試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，，所以；
（Ⅱ）由，，
猜想，下面證明：
（1）易知時(shí)成立；
（2）假設(shè)時(shí)，
則時(shí)，

（其中，為時(shí)可能的個(gè)數(shù)的乘積的和為），


即時(shí)也成立，
綜合（1）（2）知對(duì)，成立．
所以．
考點(diǎn)：歸納推理、數(shù)學(xué)歸納法.