【題目】已知
，令
求
能取到的不同的整數值的個數.
【答案】1005
【解析】
因為
，
，
所以，
.
設和式
中有
個
，
個
，
個1.則
，且
.
故
.
若為整數，則
.此時，
.
（1）當
時，
中至少有1007個
，1007個
，即至少有2014個數，矛盾.
當
時，中至少有1006個，1006個.
（i）中有1006個，1007個.
由于中有1005個
，則這1006個在中連在一起，
即
，
，
，
其中，
.故
.
（ii）中有1007個，1006個.類似有，
，
，
，
其中，.
綜合（i）、（ii），共有2012個
，使取最大值6032.
（2）用數學歸納法證明：當
時，存在使得
.
當時，由（1）已證.
假設當
時，存在使得.
將中連續的壓（或）稱為一段.分別從段長度大于1的段、段中各取一個，放在數列末尾（若原末尾為，則取出的放最末尾；若原末尾為，則取出的放最末尾）.
于是，和式中的、各減少l，增加2.此時，
.
故當
時，結論成立.
綜上，能取到的不同整數值個數為1005.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在一次數學會議上，任意兩位數學家要么是朋友，要么是陌生人．在進餐期間，每位數學家在兩個大餐廳中的其中一個就餐，每位數學家所在的餐廳中包含偶數個他（或她）的朋友．證明：數學家能被分到兩個餐廳中的不同分法的數目是2的正整數次幕（即形如
，其中，
是某個正整數）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對一堆100粒的石子進行如下操作：每次任選石子數大于1的一堆任意分成不空的兩堆，直到每堆1粒（100堆）為止．證明：
（1）無論如何操作，必有某個時刻存在20堆，其石子總數為60；
（2）可以進行適當地操作使得任何時刻不存在19堆，其石子總數為60．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
.
（1）點
是該拋物線上任一點，求證：過點
的拋物線的切線方程為
；
（2）過點
作該拋物線的兩條切線，切點分別為
，
，設
的面積為
，求的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系
中，曲線
過點
，其參數方程為
（
為參數，
），以
為極點，
軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（2）求已知曲線和曲線交于
，
兩點，且
，求實數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，動點P（x，y）到兩條坐標軸的距離之和等于它到點（1，1）的距離，記點P的軌跡為曲線W，給出下列四個結論：
①曲線W關于原點對稱；
②曲線W關于直線y＝x對稱；
③曲線W與x軸非負半軸，y軸非負半軸圍成的封閉圖形的面積小于
；
④曲線W上的點到原點距離的最小值為
其中，所有正確結論的序號是________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有4位同學在同一天的上午、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學測試兩個項目，分別在上午和下午，且每人上午和下午測試的項目不能相同．若上午不測“握力”，下午不測“臺階”，其余項目上午、下午都各測試一人，則不同的安排方式的種數為（ ）
A.264B.72C.266D.274
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知關于x的一元二次不等式ax2+x+b＞0的解集為（-∞，-2）∪（1，+∞）．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）求不等式ax2-（c+b）x+bc＜0的解集．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】第18屆國際籃聯籃球世界杯（世界男子籃球錦標賽更名為籃球世界杯后的第二屆世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中國的北京、廣州、南京、上海、武漢、深圳、佛山、東莞八座城市舉行.中國隊12名球員在第一場和第二場得分的莖葉圖如圖所示，則下列說法錯誤的是（ ）
A.第一場得分的中位數為
B.第二場得分的平均數為
C.第一場得分的極差大于第二場得分的極差D.第一場與第二場得分的眾數相等
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