Question

【題目】已知拋物線.

（1）點是該拋物線上任一點，求證：過點的拋物線的切線方程為；

（2）過點作該拋物線的兩條切線，切點分別為，，設的面積為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4.

【解析】

（1）先確定切線斜率存在，再與拋物線聯立，利用判別式為零解得斜率，即得結果；

（2）先根據（1）得兩切線方程，再根據過得切點弦方程，利用點到直線距離得高，與拋物線聯立，利用弦長公式得底邊邊長，根據三角形面積公式得，最后根據單調性性質求的最小值.

（1）由于拋物線的對稱軸為軸，故切線斜率必存在.

設切線方程為，

，

，又，

所以，切線方程為，

即.

（2）由（1）可知：切線的方程為，

切線的方程為，

又均過，所以①，②

由①②即知直線的方程為，

，

又點到直線的距離，

所以，，

等號當且僅當時成立.

故.