Question

【題目】已知拋物線，過定點作不垂直于x軸的直線，交拋物線于A，B兩點.

（1）設O為坐標原點，求證：為定值；

（2）設線段的垂直分線與x軸交于點，求n的取值范圍；

（3）設點A關于x軸的對稱點為D，求證：直線過定點，并求出定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）定點為。

【解析】

（1）設直線的方程為，直線方程與拋物線方程聯立消元得的二次方程，判別式，設，由韋達定理得，計算并代入即得；

（2）寫出線段的垂直平分線方程，令求出，利用可得的范圍．

（3）求出點坐標，求出直線方程，把分別用代入并化簡，然后再代入(1)中的，整理后可知直線過定點．

（1）設過點的直線的方程為，由得，

設，則，

∴為定值；

（2）由（1）知的中點坐標為，則的中垂線方程為：

，令得，

又，即，∴。

（3）點A關于x軸的對稱點為，則直線方程為：，

整理得，

而，

∴直線方程為，

∴直線過定點，定點為。