Question

【題目】已知函數，直線：.

（Ⅰ）設是圖象上一點，為原點，直線的斜率，若 在 上存在極值，求的取值范圍；

（Ⅱ）是否存在實數，使得直線是曲線的切線？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）試確定曲線與直線的交點個數，并說明理由.

Answer 1

【答案】，（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）先根據斜率公式列再求導數及其零點，最后根據條件列不等式，解得結果，（Ⅱ）設切點，根據導數幾何意義得斜率，再根據點斜式得切線方程，最后根據切線過（0，-1）點列方程，解得切點坐標，即得的值；（Ⅲ）先變量分離，轉化為研究函數圖象，利用導數研究其單調性，再結合函數圖象確定交點個數.

（Ⅰ）∵，∴，解得.

由題意得： ，解得.

（Ⅱ）假設存在實數，使得直線是曲線的切線，令切點，

∴切線的斜率.

∴切線的方程為，

又∵切線過（0，-1）點，

∴.

解得，∴，

∴.

（Ⅲ）由題意，令， 得 .

令， ∴，由，解得.

∴在（0,1）上單調遞增，在上單調遞減，

∴,又時，；時，，

時，只有一個交點；時，有兩個交點；

時，沒有交點.