Question

【題目】已知函數.

（1）求的極值；

（2）證明：時，

（3）若函數有且只有三個不同的零點，分別記為，設且的最大值是，證明：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）先求導數，再根據討論導函數零點情況，最后根據導函數零點以及導函數符號變化規律確定極值，（Ⅱ）作差函數，先利用導數研究導函數單調性，確定導函數零點，再根據導函數符號確定函數最小值，最后根據基本不等式證得結論，（Ⅲ）先利用導數研究有兩個零點時，其兩個零點對應區間，再令，根據條件用表示，利用導數求其最大值，即得結論.

（Ⅰ）函數的定義域為.

由已知可得．

（1）當時，，故在區間上單調遞增； 無極值.

（2）當時，由，解得；由，解得．所以函數在上單調遞增，在上單調遞減. 的極大值為，無極小值.

（Ⅱ）證明：令，故只需證明.

因為

所以函數在上為增函數，且，．

故在上有唯一實數根，且．

當時，，當時，,

從而當時，取得最小值．

由，得，即，

故 ，

因為，所以等于號取不到，即

綜上，當時， 即．

（Ⅲ）∵ 函數有且只有三個不同的零點，而是其零點，

∴ 函數存在兩個零點（不等于），即有兩個不等且不等于的實數根．

可轉化為方程在區間上有兩個不等且不等于的實數根，

即函數的圖象與函數的圖象有兩個交點.

∵，

∴ 由，解得，故在上單調遞增；

由，解得，故在上單調遞減；

故函數的圖象與的圖象的交點分別在，上，

即的兩個根分別在區間，上，

∴的三個不同的零點分別是，且.

令，則．

由，解得故， ．-令，則．

令，則．

所以在區間上單調遞增，即．

所以，即在區間上單調遞增，

即，

所以，即，