Question

【題目】已知在三棱錐中，底面,,，是的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，且，連接.

（l）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】分析：（1）求出AE=4．由勾股定理得BE=2．推導(dǎo)出AC是Rt△ABE的斜邊BE上的中線，從而C是BE的中點(diǎn)．進(jìn)而直線CD是Rt△ABE的中位線，CD∥AB．由此能證明CD∥平面PAB；

（2）以為原點(diǎn)，直線分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量與平面的法向量，帶入公式即可.

詳解：（1）證明：因?yàn)?/span>，所以.

又，，

所以在中，由勾股定理，得.

因?yàn)?/span>，

所以是的斜邊上的中線.

所以是的中點(diǎn).

又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn),

所以直線是的中位線，所以.

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

（2）解：以為原點(diǎn)，直線分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

因?yàn)?/span>，且分別是的中點(diǎn)，

所以，.所以點(diǎn)，，，，.

所以，，.

設(shè)平面的法向量為，則

由得得

所以令，得平面的一個(gè)法向量為；

設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.

又，所以根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，得.

所以.

故直線與平面所成角的正切值為.