Question

【題目】已知平面五邊形是軸對稱圖形(如圖1)，BC為對稱軸，AD⊥CD，AD=AB=1，，將此五邊形沿BC折疊，使平面ABCD⊥平面BCEF，得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題.

（1）證明：AF∥平面DEC；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析，（2）

【解析】

試題分析：（1）作 交 于點 ，連接 ．由已知條件得 ．所以 面．同理： 面 ．由此能證明 平面AFB． （2）過G作GH⊥AD于點H，連接HE.由（1）知EG⊥BC，又平面ABCD⊥平面BCEF，平面ABCD∩平面BCEF=BC，所以EG⊥平面ABCD，所以EG⊥AD.可得AD⊥平面EHG，則AD⊥HE，則∠EHG即為二面角的平面角. 在中，即可求出二面角 的余弦值．

試題解析：

（1）如圖，過D作DG⊥BC于點G，連接GE，

因為BC為對稱軸，所以AB⊥BC，則有AB∥DG，又AB平面ABF，

所以DG∥平面ABF，同理EG∥平面ABF.又DG∩EG=G，所以平面DGE∥平面ABF.

又平面AFED∩平面ABF=AF，平面AFED∩平面DGE=DE，所以AF∥DE，

又DE平面DEC，所以AF∥平面DEC.

（2）如圖，過G作GH⊥AD于點H，連接HE.由（1）知EG⊥BC，又平面ABCD⊥平面BCEF，平面ABCD∩平面BCEF=BC，所以EG⊥平面ABCD，所以EG⊥AD.

又EG∩HG=G，所以AD⊥平面EHG，則AD⊥HE，

則∠EHG即為二面角的平面角.

由AD⊥CD，AD=AB=1，，得G為BC的中點，，，.

因為為直角三角形，所以，

則二面角的余弦值為.