Question

【題目】已知函數，函數．

Ⅰ若函數在和上單調性相反，求的解析式；

Ⅱ若，不等式在上恒成立，求a的取值范圍；

Ⅲ已知，若函數在區間內有且只有一個零點，試確定實數a的范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

Ⅰ若函數在和上單調性相反，得到是對稱軸，進行求解即可求的分析式；

Ⅱ利用參數分離法將不等式在上恒成立轉化為求最值問題即可，求a的取值范圍；

Ⅲ根據函數零點和方程之間的關系，判斷函數的單調性，即可得到結論．

Ⅰ由單調性知，函數為二次函數，

其對稱軸為，解得，

所求

Ⅱ依題意得，

即在上恒成立，

轉化為在上恒成立，

在上恒成立，

轉化為在上恒成立，

令，則轉化為在上恒成立

即，所以

Ⅲ，

設，，，

則原命題等價于兩個函數與的圖象在區間內有唯一交點．

當時，在內為減函數，，為增函數，

且，，函數在區間有唯一的交點；

當時，圖象開口向下，對稱軸為，

在內為減函數，，為增函數，

且，

.

當時，圖象開口向上，對稱軸為，

在內為減函數，，為增函數，

則由，

.

綜上，所求a的取值范圍為