Question

【題目】已知函數f（x）= 滿足：f（1）=1，f（﹣2）=4．
（1）求a，b的值，并探究是否存在常數c，使得對函數f（x）在定義域內的任意x，都有f（x）+f（c﹣x）=4成立；
（2）當x∈[1，2]時，不等式f（x）≤ 恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得 ，解得 ．

∴ （x≠﹣1）．

方法1：假設存在常數c符合要求，即f（x）+f（c﹣x）=4，x≠﹣1成立．

特別當x=0時有f（0）+f（c）=4，即 ，解得c=﹣2．

下面證明f（x）+f（﹣2﹣x）=4，x≠﹣1恒成立．事實上，當x≠﹣1時，

則f（x）+f（﹣2﹣x）= = ．

∴存在常數c=﹣2，滿足題設要求；

方法2：假設存在常數c符合要求，即f（x）+f（c﹣x）=4，x≠﹣1成立．

則 ，

即 ，

變形得，﹣x2+（c﹣1）x+c=﹣x2+（c﹣1）x+2（c+1），

整理得，c=﹣2．

∴存在常數c=﹣2，滿足題設要求

（2）解：不等式f（x）≤ 即為 對x∈[1，2]恒成立，

即 對x∈[1，2]恒成立，

故必有0＜m＜1或m＞2

在0＜m＜1或m＞2下，問題化為 對x∈[1，2]恒成立，

即mx﹣m≤x2≤mx+m對x∈[1，2]恒成立，

①當x=1時， 或m＞2．

②當x≠1時， 且 對x∈[1，2]恒成立，

對于 對x∈[1，2]恒成立，等價于 ，

令t=x+1，x∈[1，2]，則x=t﹣1，t∈（2，3]，

，t∈（2，3]遞增，

∴ ，

即 ，結合0＜m＜1或m＞2，

∴m＞2．

對于 對x∈[1，2]恒成立，等價于 ，

令t=x﹣1，x∈[1，2]，則x=t+1，t∈（0，1]，

，t∈（0，1]遞減，

∴ ，

∴m≤4，結合0＜m＜1或m＞2，

∴0＜m＜1或2＜m≤4，

綜上，實數m的取值范圍為2＜m≤4

【解析】（1）由 ，得 ，解得a，b的值， 方法1：假設存在常數c符合要求，即f（x）+f（c﹣x）=4，x≠﹣1成立，特別當x=0時，解得c的值，然后證明
f（x）+f（﹣2﹣x）=4，x≠﹣1恒成立，當x≠﹣1時，則f（x）+f（﹣2﹣x）=4，故存在常數c=﹣2，滿足題設要求；
方法2：假設存在常數c符合要求，即f（x）+f（c﹣x）=4，x≠﹣1成立，則 ，變形得，﹣x2+（c﹣1）x+c=﹣x2+（c﹣1）x+2（c+1），整理得c的值，故存在常數c=﹣2，滿足題設要求；（2）不等式f（x）≤ 即為 對x∈[1，2]恒成立，即 對x∈[1，2]恒成立，則0＜m＜1或m＞2，進一步化為 對x∈[1，2]恒成立，即mx﹣m≤x2≤mx+m對x∈[1，2]恒成立，再分類討論①當x=1時， 或m＞2，②當x≠1時，求出0＜m＜1或2＜m≤4，綜上，實數m的取值范圍可求．