Question

1．設函數f（x）=Asin（ωx+φ），其中ω＞0，A＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，x∈R且函數f（x）的最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，滿足f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對任意實數x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，不等式f（x）-m＜$\frac{3}{2}$恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設0＜x≤$\frac{π}{2}$，且方程f（x）=m有兩個不同的實數根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據f（x）的最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得A，相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，可得$\frac{1}{2}T=\frac{π}{2}$，可得ω，再由f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，求出φ，可得f（x）的解析式；
（2）x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求出f（x）的最大值小于$\frac{3}{2}$+m恒成立即可得實數m的取值范圍；
（3）根據0＜x≤$\frac{π}{2}$，求出f（x）的取值范圍，方程f（x）=m有兩個不同的實數根，即圖象與y=m有兩個交點．可得實數m的取值范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=Asin（ωx+φ），
函數f（x）的最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即sin（ωx+φ）=-1
∴A=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
可得$\frac{1}{2}T=\frac{π}{2}$，
即T=$\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2．
又∵f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2×$\frac{π}{4}$+φ）=$\frac{1}{2}$
可得：cosφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，
∴φ=$-\frac{π}{4}$
故得函數f（x）的解析式為：f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x$-\frac{π}{4}$），
（2）當x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上時，
可得：$\frac{π}{12}$≤2x$-\frac{π}{4}$$≤\frac{5π}{12}$
當2x$-\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$時，f（x）取得最大值為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$．
不等式f（x）-m＜$\frac{3}{2}$恒成立，
即$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$$-\frac{3}{2}＜m$恒成立．
∴實數m的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}-5}{4}$，+∞）．
（3）由$0＜x≤\frac{π}{2}$，
得$-\frac{π}{4}＜4x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$．
設t=4x-$\frac{π}{4}$，有$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sint，t∈（-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，其圖象如下：
由上圖可知，$\frac{1}{2}≤m＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時，
曲線$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sint$與y=m兩個不同的交點，
即$0＜x≤\frac{π}{2}$，方程f（x）=m有兩個不同的實數根．

點評 本題考查三角函數的有界性，換元法，三角函數圖象及性質的運用，考查轉化思想以及計算能力．屬于中檔題