Question

9．在△ABC中，AB=5，AC=7，若O為△ABC外接圓的圓心，則$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的值為12．

Answer 1

分析 作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，由垂徑定理得D、E分別為AB、AC的中點，利用三角函數在直角三角形中的定義，可得cos∠OAD=$\frac{|\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{AO}|}$，由向量數量積的定義得$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AO}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos∠OAD=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²，同理可得$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|²，而$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AO}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），展開后代入前面的數據即可得到$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
∵⊙O中，OD⊥AB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，cos∠OAD=$\frac{|\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{AO}|}$，
因此，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AO}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos∠OAD=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²=$\frac{25}{2}$；
同理可得$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|²=$\frac{49}{2}$．
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AO}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{49}{2}$-$\frac{25}{2}$=12．
故答案為：12．

點評 本題給出三角形的外接圓的圓心為0，在已知邊長的情況下求$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的值，著重考查了圓中垂直于弦的直徑性質、三角函數在直角三角形中的定義和向量數量積公式及其性質等知識，屬于中檔題．