Question

11．已知函數f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）求f（x）的最大值；
（2）設a，b∈R，a＞b＞c（其中e是自然對數的底數），用分析法求證：b^a＞a^b．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最大值即可；
（2）問題轉化為證明$\frac{lnb}{b}$＞$\frac{lna}{a}$，根據函數的單調性證明即可．

解答 （1）解：函數的定義域是（0，+∞）  f′（x）=$\frac{1-lnx}{x2}$，
∴當x＞e時，f′（x）＜0，
∴函數f（x）在（e，+∞）上單調遞減．
當0＜x＜e時，f′（x）＞0，
∴函數f（x）在（0，e）上單調遞增．
∴f（x）的最最大值為f（e）=$\frac{1}{e}$…（5分）
（2）證明：∵a＞b＞e，b^a＞0，a^b＞0，
∴要證b^a＞a^b，只需證aln b＞bln a，只需證$\frac{lnb}{b}$＞$\frac{lna}{a}$，
由（1）可知f（x）在（e，+∞）上單調遞減．
∴當a＞b＞e時，有f（b）＞f（a），
即$\frac{lnb}{b}$＞$\frac{lna}{a}$．得證．…（10分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．