Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若不存在極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）若，證明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】（1）的定義域?yàn)?/span>，且，

設(shè)，則.

①當(dāng)，即時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增；

又， ，即，

所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，

且當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以是的極小值點(diǎn)，不合題意.

（2）當(dāng)，即時(shí)，令，得，

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

①當(dāng)即時(shí)， 恒成立，

即在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，符合題意.

②當(dāng)，即時(shí)， ，

所以，所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，

且當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以是的極小值點(diǎn)，不合題意.

綜上， 的取值范圍是；

（2）因?yàn)?/span>， ，所以，

要證明，只需證明，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，

所以成立；

當(dāng)時(shí)，設(shè)，

則，

設(shè)，則，

因?yàn)?/span>，所以，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，即，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，即，

綜上，若，則.