Question

20．數列{a_n}滿足a₂=$\frac{3}{4}$，a_n-a_na_n+1-1=0，T_n表示{a_n}前n項之積，則T₂₀₁₇=4．

Answer 1

分析 把遞推式整理，根據a₂=$\frac{3}{4}$，計算出前面4項的值，不難發現這是一個周期性數列，即可T_n表示{a_n}前n項之積．

解答 解：由a_n-a_na_n+1-1=0，可得：a_n（1-a_n+1）=1．
∵a₂=$\frac{3}{4}$，
∴a₁=4，∴a₃=$-\frac{1}{3}$．
依次計算可是：a₄=4，a₅=$\frac{3}{4}$…，
不難發現：數列{a_n}是以3為周期的數列．
則a₂₀₁₇=a_{（3×672+1）}=a₁=4．
前3項的乘積：a₂×a₁×a₃=4×$\frac{3}{4}×（-\frac{1}{3}）=-1$，
可知：T₂₀₁₇=$\underset{\underbrace{{a}_{1}×{a}_{2}×{a}_{3}}}{3}×\underset{\underbrace{{a}_{5}×{a}_{4}×{a}_{6}}}{3}$…×a₂₀₁₇=（-1）⁶⁷²×a₂₀₁₇=a₂₀₁₇=4．
故答案為：4．

點評 本題考查了數列的遞推計算，通過遞推公式關系找出各項之間的關系式解題的關鍵．屬于中檔題．