Question

8．三棱錐D-ABC中，AB=CD=$\sqrt{6}$，其余四條棱長均為2，則三棱錐D-ABC的外接球的表面積為（　　）

• A． 14π
• B． 7π
• C． 21π
• D． 28π

Answer 1

分析 分別取AB，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接相應(yīng)的線段，由條件可知，球心G在EF上，可以證明G為EF中點(diǎn)，求出球的半徑，再求球的表面積．

解答 解：分別取AB，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接相應(yīng)的線段CE，ED，EF，
由條件，AB=CD=$\sqrt{6}$，BC=AC=AD=BD=2，
可知△ABC與△ADB都是等腰三角形，
AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF，同理CD⊥EF，
∴EF是AB與CD的公垂線，球心G在EF上，
可以證明G為EF中點(diǎn)，（△AGB≌△CGD），
$DE=\sqrt{4-\frac{6}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，DF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，EF=$\sqrt{\frac{10}{4}-\frac{6}{4}}=1$，
半徑$DG=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{6}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴外接球的表面積為4π×DG²=7π．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了球的內(nèi)接幾何體以及球的表面積問題，也考查空間想象能力與計(jì)算能力．屬于中檔題．