Question

【題目】設函數f（x）= ﹣ax，e為自然對數的底數 （Ⅰ）若函數f（x）的圖象在點（e2 ， f（e2））處的切線方程為 3x+4y﹣e2=0，求實數a，b的值；
（Ⅱ）當b=1時，若存在 x1 ， x2∈[e，e2]，使 f（x1）≤f′（x2）+a成立，求實數a的最小值．

Answer 1

【答案】解：（I） ﹣a（x＞0，且x≠1）， ∵函數f（x）的圖象在點（e2 ， f（e2））處的切線方程為 3x+4y﹣e2=0，
∴f′（e2）= ﹣a= ，f（e2）= =﹣ ，
聯立解得a=b=1．
（II）當b=1時，f（x）= ，f′（x）= ，
∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[1，2]， ．
∴f′（x）+a= =﹣ + ，
∴[f′（x）+a]max= ，x∈[e，e2]．
存在 x1 ， x2∈[e，e2]，使 f（x1）≤f′（x2）+a成立x∈[e，e2]，f（x）min≤f（x）max+a= ，
①當a 時，f′（x）≤0，f（x）在x∈[e，e2]上為減函數，則f（x）min= ，解得a≥ ．
②當a 時，由f′（x）= ﹣a在[e，e2]上的值域為 ．
（i）當﹣a≥0即a≤0時，f′（x）≥0在x∈[e，e2]上恒成立，因此f（x）在x∈[e，e2]上為增函數，
∴f（x）min=f（e）= ，不合題意，舍去．
（ii）當﹣a＜0時，即 時，由f′（x）的單調性和值域可知：存在唯一x0∈（e，e2），使得f′（x0）=0，
且滿足當x∈[e，x0），f′（x）＜0，f（x）為減函數；當x∈ 時，f′（x）＞0，f（x）為增函數．
∴f（x）min=f（x0）= ﹣ax0 ，x0∈（e，e2）．
∴a≥ ，與 矛盾．
（或構造函數 即可）．
綜上可得：a的最小值為
【解析】（I） ﹣a（x＞0，且x≠1），由題意可得f′（e2）= ﹣a= ，f（e2）= =﹣ ，聯立解得即可．（II）當b=1時，f（x）= ，f′（x）= ，由x∈[e，e2]，可得 ．由f′（x）+a= =﹣ + ，可得[f′（x）+a]max= ，x∈[e，e2]．存在 x1 ， x2∈[e，e2]，使 f（x1）≤f′（x2）+a成立x∈[e，e2]，f（x）min≤f（x）max+a= ，對a分類討論解出即可．