Question

【題目】已知函數．

（1）若函數在其定義域內是單調函數，求實數的取值范圍；

（2）若，令（為自然對數的底數），求證：存在，使．

請考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個題目計分.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）函數的定義域為，，

顯然，當時，，函數在其定義域內單調遞增．（2分）

當時，令，得，要使函數在其定義域內單調，需滿足，解得．

綜上，實數的取值范圍是．（4分）

（2），，

令，則，

令，則，

∵，∴，∴函數在上單調遞減，∴，（7分）

∵，∴，即，∴在上單調遞減，

∴當時，，

又，，

∴存在，使得當時，；當時，，

即存在，使得當時，；當時，，

∴函數在上先增后減，（10分）

∴存在，使，

故存在，使．（12分）