Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝ (a>0)，設(shè)F(x)＝f(x)＋g(x)．

(1)求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)y＝F(x)(x∈(0，3])圖像上任意一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率k≤恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)大于0求函數(shù)的增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0求函數(shù)的減區(qū)間（2）由題意知導(dǎo)數(shù)小于等于恒成立，分離參數(shù)即可求出a的最小值.

(1)F(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋ (x>0)，F(xiàn)′(x)＝－＝ (x>0)．

∵a>0，由F′(x)>0得x∈(a，＋∞)，∴F(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增．

由F′(x)<0得x∈(0，a)，∴F(x)在(0，a)上單調(diào)遞減．故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a)，單調(diào)遞增區(qū)間為(a，＋∞)．

(2)F′(x)＝ (0<x≤3)，k＝F′(x0)＝≤ (0<x0≤3)恒成立a≥ (0<x0≤3)．當(dāng)x0＝1時(shí)，－ x＋x0取得最大值.∴a≥，∴amin＝.