Question

【題目】若函數為定義域上單調函數，且存在區間（其中），使得當時，的取值范圍恰為，則稱函數是上的正函數，區間叫做等域區間．

（1）已知是上的正函數，求的等域區間；

（2）試探究是否存在實數，使得函數是上的正函數？若存在，請求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

【解析】

試題分析：（1）由定義得當時， 代入解析式解方程組即可；（2）假設是區間上的正函數，因為函數是上的減函數， 所以當時， 即， 兩式相減可得代入得，由和得，故關于的方程在區間內有實數解，利用一元二次方程根的分布從對稱軸、判別式和區間端點值三方面得不等式組解出即可；遇到這類題可以先畫出符合的圖像，在列不等式組比較好，否則容易漏解．

試題解析：（1）因為是上的正函數，且在上單調遞增， 所以當時， 即，解锝，故的等域區間為．

（2）因為函數是上的減函數，

所以當時， 即

兩式相減得，即，

代入得，

由，且得，

故關于的方程在區間內有實數解，

記，則 解得．