Question

【題目】已知數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn ．
（1）若{an}是公差為d（d＞0）的等差數(shù)列，且{ }也為公差為d的等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{an}對(duì)任意m，n∈N* ， 且m≠n，都有 =am+an+ ，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意得：an=a1+（n﹣1）d，Sn=na1+ d，

∴ = 成等差數(shù)列，公差為d，

∴ =dn，

∴ ，

解得：d= ，a1=﹣ ，

則an= n﹣

（2）解：令m=2，n=1，則 =2a2，即 =a2，

整理得：a1+a3=2a2，即a1，a2，a3成等差數(shù)列，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}成等差數(shù)列，

假設(shè)a1，a2，…，ak成等差數(shù)列，其中k≥3，公差為d，

則令m=k，n=1， =ak+a1+d，

∴2Sk+1=（k+1）（ak+a1+d）=k（ak+a1）+a1+ak+（k+1）d=2Sk+a1+ak+（k+1）d，

∴2ak+1=a1+ak+（k+1）d=2（a1+kd），即ak+1=a1+kd，

∴a1，a2，…，ak，ak+1成等差數(shù)列，

則對(duì)于一切自然數(shù)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列

【解析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式表示出an與Sn ， 代入驗(yàn)證即可確定出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令m=2，n=1確定出a1 ， a2 ， a3成等差數(shù)列，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于一切n≥3的自然數(shù)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等差關(guān)系的確定(如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列)，還要掌握等差數(shù)列的性質(zhì)(在等差數(shù)列{an}中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．