Question

已知，如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點A，AC=AB，CO交⊙O于點P，CO的延長線交⊙O于點F，BP的延長線交AC于點E.

（1） 求證：FA∥BE；
（2）求證：；           
（3）若⊙O的直徑AB=2，求的值.

Answer 1

（1）根據題意，由于∠OAF=∠F ∵∠B=∠F ∴∠OAF=∠B ∴FA∥BE 可知結論。
（2）利用△APC∽△FAC來得到證明。
（3）tan∠F=

解析試題分析：解 證明：（1）在⊙O中，∵直徑AB與FP交于點O ∴OA=OF
∴∠OAF=∠F ∵∠B=∠F ∴∠OAF=∠B ∴FA∥BE                 3分
（2）∵AC為⊙O的切線，PA是弦 ∴∠PAC=∠F
∵∠C=∠C ∴△APC∽△FAC ∴                  6分
∴∵AB="AC" ∴  _.
（3）∵AC切⊙O于點A，CPF為⊙O的割線，則有
AC²=CP•CF=CP（CP+PF），∵PF="AB=AC=2" ∴CP（CP+2）=4
整理得CP²+2CP-4="0," 解得CP=-1±
∵CP>0 ∴CP=                                     8分
∵FP為⊙O的直徑 ∴∠FAP=90⁰
由（2）中證得
在Rt△FAP中，tan∠F=               10分
考點：三角形相似以及切割線定理
點評：主要是考查了三角形相似性質的運用，以及切割線定理的運用，屬于基礎題。