Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）． （Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對任意實數(shù)x恒有f（x）≥0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=ex﹣ax，f′（x）=ex﹣a， 當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，則f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時，令f′（x）=ex﹣a=0，得x=lna，
則在（﹣∞，lna]上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax，f'（x）=ex﹣a，
若a＜0，則f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x趨近于負無窮大時，f（x）趨近于負無窮大；
當(dāng)x趨近于正無窮大時，f（x）趨近于正無窮大，
故a＜0不滿足條件．
若a=0，f（x）=ex≥0恒成立，滿足條件．
若a＞0，由f'（x）=0，得x=lna，
當(dāng)x＜lna時，f'（x）＜0；當(dāng)x＞lna時，f'（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在x=lna處取得極小值f（lna）=elna﹣alna=a﹣alna，
由f（lna）≥0得a﹣alna≥0，
解得0＜a≤e．
綜上，滿足f（x）≥0恒成立時實數(shù)a的取值范圍是[0，e]
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a得到范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f'（x）=ex﹣a，從而化恒成立問題為最值問題，討論求實數(shù)a的取值范圍．
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．