Question

已知實數a₁，a₂，a₃不全為零，正數x，y滿足x+y=2，設

xa1a2+ya2a3

a12+a22+a32

的最大值為M=f（x，y），則M的最小值為

 

．

Answer 1

考點：柯西不等式的幾何意義

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：討論a₂=0，a₂≠0，對原分式分子分母同除以a₂，運用x≤|x|，然后分子運用柯西不等式，分母運用均值不等式，再化簡得到M=

x2+y2

2

，根據條件正數x，y滿足x+y=2，消去y，配方求出x²+y²的最小值，從而得到M的最小值．

解答： 解：若a₂=0，則

xa1a2+ya2a3

a12+a22+a32

=0，
若a₂≠0，則

xa1a2+ya2a3

a12+a22+a32

=

xa1+ya3

a12+a32 a2 +a2

≤

x|a1|+y|a3|

a12+a32 |a2| +|a2|

≤

(x2+y2)(a12+a32)

2 a12+a32

=

x2+y2

2

，
∴M=

x2+y2

2

，
∵正數x，y滿足x+y=2，即y=2-x，
∴x²+y²=x²+（2-x）²=2x²-4x+4=2（x-1）²+2，
當x=1時，x²+y²取最小值2，
∴M的最小值為

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點評：本題主要考查柯西不等式及均值不等式的運用，考查轉化思想及配方思想，是一道綜合題．