Question

如圖，點P在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右支上，F₁，F₂分別是雙曲線的左右焦點，|PF₂|=|F₁F₂|，直線PF₁與圓x²+y²=a²相切，則雙曲線的離心率e（　　）

• A、

  4

  3

• B、

  5

  3

• C、

  3

• D、2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先設PF₁與圓相切于點M，利用|PF₂|=|F₁F₂|，及直線PF₁與圓x²+y²=a²相切，可得幾何量之間的關系，從而可求雙曲線的離心率的值．

解答： 解：設PF₁與圓相切于點M，因為|PF₂|=|F₁F₂|，所以△PF₁F₂為等腰三角形，
所以|F₁M|=

1

4

|PF₁|，
又因為在直角△F₁MO中，|F₁M|²=|F₁O|²-a²=c²-a²，所以|F₁M|=b=

1

4

|PF₁|①
又|PF₁|=|PF₂|+2a=2c+2a   ②，
c²=a²+b² ③
由①②③解得

c

a

=

5

3

．
故選：B．

點評：本題考查直線與圓相切，考查雙曲線的定義，考查雙曲線的幾何性質，屬于中檔題．