Question

如圖所示，一個三棱錐的三視圖中，其俯視圖是正三角形，主視圖及左視圖的輪廓都是直角三角形，若這個三棱錐的四個頂點都在一個球的球面上，則這個球的體積為

 

．

Answer 1

考點：球內(nèi)接多面體,球的體積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由三視圖可知幾何體是底面為正三角形，一條側(cè)棱垂直底面正三角形的一個頂點的三棱錐，三棱錐展開為三棱柱，求出外接球的半徑，即可求解外接球的體積．

解答： 解：三視圖可知幾何體是底面為正三角形，邊長為：3，一條側(cè)棱垂直底面正三角形的一個頂點的三棱錐，三棱錐的高為4，
三棱錐展開為三棱柱，三棱柱與三棱錐的外接球是同一個外接球，連結(jié)三棱柱的底面的中心，中點就是外接球的球心，
外接球的半徑為：r=

22+( 2 3 × 3 2 ×3)2

=

7

，
∴外接球的體積為：

4

3

πr3=

28 7

3

π．
故答案為：

28 7

3

π

點評：本題考查三視圖與幾何體的直觀圖的關(guān)系，外接球的體積求法，求解幾何體外接球的半徑是解題的關(guān)鍵．