Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+ax2﹣ax，其中a∈R．
（1）當a=0時，求函數f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若函數f（x）在定義域上有且僅有一個極值點，求實數a的取值范圍；
（3）若對任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=0，f（x）=lnx則f（1）=0

又 ，則切線的斜率k=1，

所以函數f（x）在x=1處的切線方程為y=x﹣1

（2）解：f（x）=lnx+ax2﹣ax，x＞0，則 ，

令t（x）=2ax2﹣ax+1，

①若a=0，則t（x）=2ax2﹣ax+1=1＞0，

故f'（x）＞0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

所以函數f（x）在（0，+∞）上無極值點，

故a=0不符題意，舍去；

②若a＜0， ，

該二次函數開口向下，對稱軸 ， ，

所以t（x）=0在（0，+∞）上有且僅有一根 ，故f'（x0）=0，

且當0＜x＜x0時，t（x）＞0，f'（x）＞0，函數f（x）在（0，x0）上單調遞增；

當x＞x0時，t（x）＜0，f'（x）＜0，函數f（x）在（x0，+∞）上單調遞減；

所以a＜0時，函數f（x）在定義域上有且僅有一個極值點 ，符合題意；

③若a＞0， ，該二次函數開口向上，對稱軸 ．

（ⅰ）若 ，即0＜a≤8， ，

故f'（x）≥0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

所以函數f（x）在（0，+∞）上無極值點，

故0＜a≤8不符題意，舍去；

（ⅱ）若 ，即a＞8，又t（0）=1＞0，

所以方程t（x）=0在（0，+∞）上有兩根 ， ，

故f'（x1）=f'（x2）=0，

且當0＜x＜x1時，t（x）＞0，f'（x）＞0，函數f（x）在（0，x1）上單調遞增；

當x1＜x＜x2時，t（x）＜0，f'（x）＜0，函數f（x）在（x1，x2）上單調遞減；

當x＞x2時，t（x）＞0，f'（x）＞0，函數f（x）在（x2，+∞）上單調遞增；

所以函數f（x）在（0，+∞）上有兩個不同的極值點，故a＞8不符題意，舍去，

綜上所述，實數a的取值范圍是a＜0

（3）解：由（2）可知，

①當0≤a≤8時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

所以當x∈[1，+∞）時，f（x）≥f（1）=0，符合題意，

②當a＜0時，t（1）=a+1，

（ⅰ）若t（1）=a+1≤0，即a≤﹣1，函數f（x）在[1，+∞）上單調遞減，

故f（x）≤f（1）=0，不符題意，舍去，

（ⅱ）若t（1）=a+1＞0，即﹣1＜a＜0，

故函數f（x）在（1，x0）上單調遞增，在（x0，+∞）上單調遞減，

當 時，

（事實上，令φ（x）=lnx﹣x+1，x≥1，則 ，

函數φ（x）在[1，+∞）上單調遞減，

所以φ（x）≤φ（1）=0，即lnx≤x﹣1對任意x∈[1，+∞）恒成立．）

所以存在 ，使得f（x）＜0，故﹣1＜a＜0不符題意，舍去；

③當a＞8時，t（1）=a+1＞0，函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增，

所以當x∈[1，+∞）時，f（x）≥f（1）=0，符合題意，

綜上所述，實數a的取值范圍是a≥0

【解析】（1）求出函數的導數，求出函數的切線的斜率，從而求出切線方程即可；（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調性結合函數的極值點的個數，求出a的范圍即可；（3）通過討論a的范圍，得到函數的單調性，求出函數的最值，從而判斷a的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．