Question

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB= CD=1，M為PB的中點．
（1）試在CD上確定一點N，使得MN∥平面PAD；
（2）點N在滿足（1）的條件下，求直線MN與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：CN= ND，MN∥平面PAD．

過M作ME∥AB交PA于E，連接DE．

∵CN= ND，

∴CN= CD= AB=EM．

又EM∥DC∥AB，∴EM∥DN，且EM=DN

∴DEMN為平行四邊形，

∴MN∥DE，

又DE平面PAD，MN平面PAD，

∴MN∥平面PAD

（2）解：∵MN∥DE

∴直線MN與平面PAB所成角等于直線DE與平面PAB所成角

∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥AD，

∵AB⊥AD，PA∩AB=A，

∴AD⊥平面PAB，

∴∠AED為直線DE與平面PAB所成角．

∵AE= ，AD=1，

∴DE= ，

∴sin∠AED= = ．

∴直線MN與平面PAB所成角的正弦值為

【解析】（1）CN= ND，MN∥平面PAD，過M作ME∥AB交PA于E，連接DE，證明MN∥DE即可；（2）利用MN∥DE，考的直線MN與平面PAB所成角等于直線DE與平面PAB所成角．解△AED即可．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．