Question

【題目】已知a＞0，函數f（x）＝|2x+2|+|x﹣a|的最小值為2．

（1）求實數a的值，并作出y＝f（x）的圖象；

（2）當m＞0，n＞0，且m+n＝2時，m2+n2≥f（x）恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a＝1，見解析（2）{x|}．

【解析】

（1）分段討論求出的最小值，且等于，即可求解；

（2）由基本不等式求出的最小值為4，分段討論解不等式，即可得出結論.

（1），

當；

當；

當，

所以的最小值為，

f（x）的圖象如圖所示：

（2）∵m＞0，n＞0且m+n＝2，

∴，當且僅當m＝n時等號成立，

∴（m2+n2）min＝4，∵m2+n2≥f（x）恒成立，

∴f（x）≤（m2+n2）min＝4，

∴|2x+2|+|x﹣1|≤4，

∴或或，

∴﹣1≤x≤1或，

∴，

∴不等式的解集為{x|}．