Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，右準線為.過點作與坐標軸都不垂直的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，為坐標原點，且直線與右準線交于點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若，求直線的方程；

（3）是否存在實數，使得恒成立？若存在，求實數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，且.

【解析】

（1）根據準線的定義得，又由，結合可求得，得橢圓標準方程；

（2）由可求得點橫坐標，設直線方程為，代入橢圓方程整理后應用韋達定理得，由可得，得直線方程；

（3）設，得，由點差法可得，從而得，則可得點坐標，然后計算可得．

（1）由已知可得： ，

解得：

橢圓的標準方程為：.

（2）由可知：

即，可得：，

設，直線AB的方程為，

聯立 ，得：，

為線段的中點，則，

即，解得：，

所以直線的方程為.

（3）設，，，，，，

由，兩方程相減得，即，

∴，即，

又，∴，∵，∴，即，

，，，

，

，

∴．

∴存在滿足題意的，且．