Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且四個頂點構成的四邊形的面積是．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線經過點，且不垂直于軸，直線與橢圓交于，兩點，為的中點，直線與橢圓交于，兩點（是坐標原點），求四邊形的面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）8

【解析】

（1）由離心率可知，由四邊形的面積可知，再結合橢圓中，從而可求，，進而可得橢圓的標準方程.

（2）設直線的方程為，，，將直線與橢圓聯立，由韋達定理可得，從而可求出直線的方程為，與橢圓方程聯立，可求出，設點到直線的距離為，則可知

，通過整理可求出，即可得，由，即可求出面積的最小值.

解：（1）由題意可得，解得，，

故橢圓的方程為．

（2）由不垂直于 軸，設直線的方程為，，．

聯立，整理得，則，，

從而，故．

則直線的斜率為，所以直線的方程為，即．

聯立，整理得，則．

設點到直線的距離為，則點到直線的距離也為，

從而．

因為點，在直線的兩側，所以，

所以，則．

因為，所以，

則四邊形的面積．

因為（當且僅當時，等號成立），

所以，即四邊形的面積的最小值是8．