Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，上的點(diǎn)與的兩個焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的周長為．

（1）求的方程；

（2）若點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且∥．判斷是否為定值，若是求出該值；若不是請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，為定值2．

【解析】

（1）先求出拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再由經(jīng)過點(diǎn)得出的值，最后利用橢圓的定義以及題中條件求出，從而得解；

（2）先設(shè)出直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得的值，再把的方程與的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得的值，根據(jù)已知求出，根據(jù)橢圓的對稱性，求出，即可判斷是否為定值.

（1）因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)，所以，

因?yàn)?/span>上的點(diǎn)與的兩個焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的周長為，

所以，所以，

所以，

所以的方程為.

（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，

令，得，即，所以，

由，得，解得，

即， 所以，

因?yàn)?/span>∥，所以直線的方程為，

由，得，解得，

所以，

根據(jù)橢圓的對稱性，知，即，

所以，

故為定值，該定值為2.