【題目】如圖，在多面體
中，
平面
，
，且
為等邊三角形，
，
與平面所成角的正弦值為
．
（1）若
是線段的中點，證明：
平面
；
（2）求二面角
的平面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
．
【解析】試題分析：（1）取
的中點為
，連接
,可證
平面
,通過證明四邊形
為平行四邊形可得結論；（2）取
的中點
，連結
取
的中點為
，以為原點，
為
軸，
為
軸，
為
軸建立空間直角坐標系，由
與平面
所成角的正弦值為求得
，求出平面
和平面
的一個法向量，根據向量的夾角公式即可求得二面角的余弦值.
試題解析：（1）證明：取的中點為，連接
，則可證平面
，四邊形為平行四邊形，所以
，所以
平面；
（2）解：取的中點，連結
，則
平面
，
即是與平面
所成角，
，設
，則有
，得，取的中點為，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖空間直角坐標系，則
，由（1）知：
平面，又
，取平面的一個法向量
，又
，設平面
的一個法向量
，由
，由此得平面的一個法向量
，面積
，所以二面角
的平面角的余弦值為．
名校通行證有效作業系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在四棱錐
中，底面
是正方形，
．
（1）如圖2，設點
為
的中點，點
為
的中點，求證:
平面
；
（2）已知網格紙上小正方形的邊長為
，請你在網格紙上用粗線畫圖1中四棱錐的府視圖（不需要標字母），并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓：
，點
.
（1）設
是橢圓
上任意的一點，
是點
關于坐標原點的對稱點，記
，求
的取值范圍；
（2）已知點
，
，
是橢圓
上在第一象限內的點，記
為經過原點與點
的直線，
為
截直線
所得的線段長，試將
表示成直線
的斜率
的函數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】記
表示
，
中的最大值，如
．已知函數
，
．
（1）設
，求函數
在
上零點的個數；
（2）試探討是否存在實數
，使得
對
恒成立？若存在，求
的取值范圍；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】幾何證明選講
在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
是參數），以原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（1）求曲線
的直角坐標方程，并指出其表示何種曲線；
（2）若曲線
與曲線
交于
兩點，求
的最大值和最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.
（1)求證：PA∥平面EDB；
（2)求證：PB⊥平面EFD；
（3)求二面角C－PB－D的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知O為原點，A，B，C為平面內的三點．求證：
(1) 若A，B，C三點共線，則存在實數α，β，且α＋β＝1，
(2) 若存在實數α，β，且α＋β＝1，使得
，則A，B，C三點共線．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商品每件成本5元，售價14元，每星期賣出75件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數
與商品單價的降低值
（單位：元，
）的平方成正比，已知商品單價降低1元時，一星期多賣出5件．
（1）將一星期的商品銷售利潤
表示成的函數；
（2）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？
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