Question

【題目】已知橢圓：，點.

（1）設是橢圓上任意的一點，是點關于坐標原點的對稱點，記，求的取值范圍；

（2）已知點，，是橢圓上在第一象限內的點，記為經過原點與點的直線，為截直線所得的線段長，試將表示成直線的斜率的函數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設的坐標為，則的坐標為，先求出和，然后運用向量數量積的坐標運算能夠求出的取值范圍；（2）根據為雙曲線上第一象限內的點，可知直線的斜率，再由題設條件根據的不同取值范圍試將表示為直線的斜率的函數.

試題解析：（1）設，則，

所以，又，

所以，又，所以.

（2）因為是橢圓上在第一象限內的點，則的斜率，且.

當時，截直線所得的線段的兩個端點分別是直線與直線的交點，由已知，，

聯立解得，聯立解得，

于是；

當時，截直線所得的線段的兩個端點分別是直線與直線的交點，由已知，

聯立解得，

于是.

綜上所述，.