Question

【題目】記表示，中的最大值，如．已知函數，．

（1）設，求函數在上零點的個數；

（2）試探討是否存在實數，使得對恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）個；（2）存在，.

【解析】

試題分析：（1）設，利用導數與單調性的關系求出，可得，則，結合圖象可得零點的個數；（2）可將題意轉化為對恒成立，分別求和成立即可.

試題解析：（1）設，，

令，得，遞增；令，得，遞減．

∴，∴，即，∴．

設，結合與在上圖象可知，這兩個函數的圖象在上有兩個交點，即在上零點的個數為．

（2）假設存在實數，使得對恒成立，

則對恒成立，

即對恒成立，

（i）設，，

令，得，遞增；令，得，遞減．

∴．

當，即時，，∴，

∵，∴．

故當時，對恒成立．

當，即時，在上遞減，∴．

∵，∴

故當時，對恒成立．

（ii）若對恒成立，則，∴．

由（i）及（ii）得，．

故存在實數，使得對恒成立，

且的取值范圍為．