Question

【題目】已知函數.

（1）討論在上的零點個數；

（2）當時，若存在，使，求實數的取值范圍.（為自然對數的底數，其值為2.71828……）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）構造函數，先將討論在上的零點個數問題，轉化為討論直線與曲線的交點個數問題，用導數方法研究函數單調性，求出值域，即可得出結果；

（2）根據（1）的結果，由求出零點，得到，再由題意得到成立，構造函數，用導數方法研究其單調性，進而可求出結果.

（1）由得，令，

因此討論在上的零點個數，即是討論直線與曲線的交點個數，

∵，在上恒成立，

故在上單調遞增，，

又連續不斷，所以當時，在上無零點；

當時，在上存在一個零點.

（2）當時，由（1）得在上存在一個零點，

由得，

由（1）可得在上單調遞減，在上單調遞增；

所以，

又存在，使成立，

所以，只需成立，即不等式成立，

令，

則，

易知在上恒成立，

故在上單調遞增

又，所以.

故實數的取值范圍為.