Question

【題目】已知函數

（1）求函數的單調區間和的極值；

（2）對于任意的，，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）對f（x）求導，再求導，得到二次導數恒大于0，又，得到及的x的范圍，即可得到函數的單調區間及極值.

（2）由題意，只需，結合（1）可得最小值為，比較與得到最大值，可求得結論.

（1）∵，，其中是的導函數.

顯然，，因此單調遞增，

而，所以在上為負數，在上為正數，

因此在上單調遞減，在上單調遞增,

當時，取得極小值為f(0)=1，無極大值.

∴的極小值為1,無極大值.單增區間為，單減區間為.

（2）依題意，只需

由（1）知，在上遞減，在上遞增，

∴在上的最小值為；

最大值為和中的較大者

而 ，

因此，

∴在上的最大值為

所以，，解得或.

∴實數的取值范圍是：.