Question

【題目】給定一個數列{an}，在這個數列里，任取m（m≥3，m∈N*）項，并且不改變它們在數列{an}中的先后次序，得到的數列{an}的一個m階子數列．
已知數列{an}的通項公式為an= （n∈N* ， a為常數），等差數列a2 ， a3 ， a6是數列{an}的一個3子階數列．
（1）求a的值；
（2）等差數列b1 ， b2 ， …，bm是{an}的一個m（m≥3，m∈N*）階子數列，且b1= （k為常數，k∈N* ， k≥2），求證：m≤k+1
（3）等比數列c1 ， c2 ， …，cm是{an}的一個m（m≥3，m∈N*）階子數列，求證：c1+c1+…+cm≤2﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a2，a3，a6成等差數列，

∴a2﹣a3=a3﹣a6．

又∵a2= ，a3= ，a6= ，

代入得 ﹣ = ﹣ ，解得a=0

（2）證明：設等差數列b1，b2，…，bm的公差為d．

∵b1= ，∴b2≤ ，

從而d=b2﹣b1≤ ﹣ =﹣ ．

∴bm=b1+（m﹣1）d≤ ﹣ ．

又∵bm＞0，∴ ﹣ ＞0．

即m﹣1＜k+1．

∴m＜k+2．

又∵m，k∈N*，∴m≤k+1．

（3）證明：設c1= （t∈N*），等比數列c1，c2，…，cm的公比為q．

∵c2≤ ，∴q= ≤ ．

從而cn=c1qn﹣1≤ （1≤n≤m，n∈N*）．

∴c1+c2+…+cm≤ + + +…+

= ，

設函數f（x）=x﹣ ，（m≥3，m∈N*）．

當x∈（0，+∞）時，函數f（x）=x﹣ 為單調增函數．

∵當t∈N*，∴1＜ ≤2．∴f（ ）≤2﹣ ．

即 c1+c2+…+cm≤2﹣ ．

【解析】（1）利用等差數列的定義及其性質即可得出；（2）設等差數列b1 ， b2 ， …，bm的公差為d．由b1= ，可得b2≤ ，再利用等差數列的通項公式及其不等式的性質即可證明；（3）設c1= （t∈N*），等比數列c1 ， c2 ， …，cm的公比為q．由c2≤ ，可得q= ≤ ．從而cn=c1qn﹣1≤ （1≤n≤m，n∈N*）．再利用等比數列的前n項和公式、函數的單調性即可得出．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和和等差數列的性質，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；在等差數列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數列是等差數列即可以解答此題．