Question

下列函數中，滿足“f（x+y）=f（x）f（y）”的單調遞增函數是（　　）

• A、f（x）=x³
• B、f（x）=3^x
• C、f（x）=x 

  1

  2

• D、f（x）=（

  1

  2

  ）^x

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：對選項一一加以判斷，先判斷是否滿足f（x+y）=f（x）f（y），然后考慮函數的單調性，即可得到答案．

解答： 解：A．f（x）=x³，f（y）=y³，f（x+y）=（x+y）³，不滿足f（x+y）=f（x）f（y），故A錯；
B．f（x）=3^x，f（y）=3^y，f（x+y）=3^x+y，滿足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是單調增函數，故B正確；
C．f（x）=x

1

2

，f（y）=y

1

2

，f（x+y）=(x+y)

1

2

，不滿足f（x+y）=f（x）f（y），故C錯；
D．f（x）=(

1

2

)x，f（y）=(

1

2

)y，f（x+y）=(

1

2

)x+y，滿足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是單調減函數，故D錯．
故選B．

點評：本題主要考查抽象函數的具體模型，同時考查冪函數和指數函數的單調性，是一道基礎題．