Question

設(shè)f（n）=（

1+i

1-i

）ⁿ（n∈N^*，i為虛數(shù)單位），則集合{x|x=f（n）}中元素的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專(zhuān)題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：利用復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算先化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=

1+i

1-i

=i，
當(dāng)n=2，f（2=（

1+i

1-i

）²=

2i

-2i

=-1
當(dāng)n=3，f（3）=（

1+i

1-i

）³=-

1+i

1-i

=-i，
當(dāng)n=4時(shí)，f（4）=（

1+i

1-i

）⁴=1，
當(dāng)n=5時(shí)，f（5）=（

1+i

1-i

）⁵=（

1+i

1-i

）=i，
則f（n）的取值具備周期性，周期為4，
其中x=f（n）=i，-1，1共3個(gè)元素，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算先化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．