Question

已知函數f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1(a＞0)．
（1）設0＜a＜1，試討論f（x）單調性；
（2）設g（x）=x²-2bx+4，當a=

1

4

時，若?x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求實數b的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）直接利用函數與導數的關系，求出函數的導數，再討論函數的單調性；
（2）利用導數求出f（x）的最小值、利用二次函數知識或分離常數法求出g（x）在閉區間[1，2]上的最大值，然后解不等式求參數．

解答： 解：（1）∵函數f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1(a＞0)，
所以f′（x）=

-ax2+x+a-1

x2

（x＞0），
令h（x）=ax²-x+1-a（x＞0）
當a≠0時，由f′（x）=0，即ax²-x+1-a=0，解得x₁=1，x₂=

1

a

-1．
當a=

1

2

時x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此時f′（x）≤0，函數f（x）單調遞減；
當0＜a＜

1

2

時，

1

a

-1＞1＞0，x∈（0，1）時h（x）＞0，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
x∈（1，

1

a

-1）時，h（x）＜0，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
x∈（

1

a

-1，+∞）時，h（x）＞0，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減．
當

1

2

＜a＜1時，0＜

1

a

-1＜1，x∈（0，

1

a

-1）時h（x）＞0，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
x∈（

1

a

-1，1）時，h（x）＜0，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
x∈（1，+∞）時，h（x）＞0，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減
綜上所述：當0＜a＜

1

2

時，函數f（x）在（0，1）、（

1

a

-1，+∞）單調遞減，（1，

1

a

-1）單調遞增；
當a=

1

2

時x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此時f′（x）≤0，函數f（x）在（0，+∞）單調遞減；
當

1

2

＜a＜1時，函數f（x）在（0，

1

a

-1）單調遞減，（

1

a

-1，1）單調遞增，（1，+∞）單調遞減．
（2）當a=

1

4

時，f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，2）上是增函數，
所以對任意x₁∈（0，2），有f（x₁）≥f（1）=-

1

2

，
又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
所以-

1

2

≥g（x₂），x₂∈[1，2]，（※）
又g（x）=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]
當b＜1時，g（x）_min=g（1）=5-2b＞0與（※）矛盾；
當b∈[1，2]時，g（x）_min=g（b）=4-b²≥0也與（※）矛盾；
當b＞2時，g（x）_min=g（2）=8-4b≤-

1

2

，所以b≥

17

8

．
綜上，實數b的取值范圍是[

17

8

，+∞）．

點評：本題將導數、二次函數、不等式知識有機的結合在一起，考查了利用導數研究函數的單調性、利用導數求函數的最值以及二次函數的最值問題，考查了同學們分類討論的數學思想以及解不等式的能力；考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力．