Question

【題目】如圖，三棱柱的底面是正三角形，底面，M為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）若，且沿側(cè)棱展開三棱柱的側(cè)面，得到的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng)為，求作點(diǎn)在平面內(nèi)的射影H，請(qǐng)說明作法和理由，并求線段AH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）作法見解析，理由見解析，

【解析】

（1）連結(jié)，交于點(diǎn)O，連結(jié)OM，先證明，進(jìn)而得證；

（2）過作于H，通過證明平面，可得證；在中，由射影定理，有，可計(jì)算得AH.

（1）如圖，

連結(jié)，交于點(diǎn)O，連結(jié)OM．

因?yàn)槿�棱�?/span>的側(cè)面是平行四邊形，所以O為中點(diǎn)，

因?yàn)?/span>M為的中點(diǎn)，所以．

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面．

（2）過作于H，

因?yàn)?/span>平面，平面，所以，

因?yàn)?/span>是正三角形，M為的中點(diǎn)，

所以，又，平面，

所以平面，又平面，所以，

又因?yàn)?/span>，平面，

所以平面于H，

所以H為點(diǎn)在平面內(nèi)的射影．

因?yàn)槿�棱柱�?cè)面展開圖是矩形，

且對(duì)角線長(zhǎng)為，側(cè)棱，

所以三棱柱底面周長(zhǎng)為．

又因?yàn)槿�棱柱的底面是正三角形�?/span>

所以底面邊長(zhǎng)，

在中，，

由射影定理，有，

即，所以．