Question

【題目】已知橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為，短軸長為，直線與橢圓C交于M、N兩點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線與圓相切，證明：為定值

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的有關(guān)知識可得，從而可得橢圓的方程；

（2）分直線的斜率存在與否兩種情況求解．①當(dāng)的斜率不存在時，其方程為，可得、的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積可得；②當(dāng)的斜率存在時，設(shè)其方程為，由直線與圓相切得．然后將直線方程與橢圓方程聯(lián)立、消元，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系由數(shù)量積可得，從而可得．綜上可得為定值．

（1）由題意得，

∴橢圓的方程為

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，因為直線與圓相切，所以直線方程為．

當(dāng)時，可得M、N兩點坐標(biāo)分別為，

，.

當(dāng)時，同理可得；

②當(dāng)的斜率存在時，設(shè)，

由題意得，，

由，消去整理得，

∵直線與圓相交，∴

設(shè)，則，，

，

.

綜上（定值） ．