Question

【題目】已知函數.

（1）當時，設函數，求函數的單調區間和極值；

（2）設是的導函數，若對任意的恒成立，求的取值范圍；

（3）若，，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）當a＝1，求得函數g（x）的解析式，求導，g′（x）＜0和g′（x）＞0，求得函數g（x）的單調遞減區間和單調遞增區間，g′（x）＝0，x，由函數的單調性可知x為函數g（x）的極小值；

（2）求得f′（x），將原不等式轉化成，2lna≤x﹣2lnx﹣1在x＞0上恒成立，構造輔助函數，h（x）＝x﹣2lnx﹣1，求導，根據函數單調性求得h（x）有最小值，即可求得實數a的取值范圍；

（3）由（1）可知，根據函數的單調性可知＜＜1，可知g（）＞g（）＝ln，則ln+ln＜（2）ln（），由基本不等式的關系可知24，ln（）＜0，即ln+ln＜4ln（），根據對數函數的性質即可得到．

(1)當a=1時，g(x)==xln x，∴g'(x)=1+ln x.令g'(x)=0得x=.

當x∈時，g'(x)<0，g(x)單調遞減，

當x∈時，g'(x)>0，g(x)單調遞增，

∴當x=時，g(x)取得極小值-.

(2)f'(x)=2x(ln x+ln a)+x，

≤1，即2ln x+2ln a+1≤x，

所以2ln a≤x-2ln x-1在x>0上恒成立，

設u(x)=x-2ln x-1，則u'(x)=1-.

令u'(x)=0，得x=2.

當0<x<2時，u'(x)<0，u(x)單調遞減；當x>2時，u'(x)>0，u(x)單調遞增，

∴當x=2時，u(x)有最小值u(2)=1-2ln 2.

∴2ln a≤1-2ln 2，解得0<a≤.∴a的取值范圍是.

(3)由(1)知g(x)=xln x在內是減函數，在上是增函數.

∵<<<1，∴g()=()ln()>g()=ln ，

即ln x1<ln().

同理ln <ln().

∴ln +ln<ln(x1+x2)=ln().

又∵2+≥4，當且僅當“=”時，取等號.

又，∈，<1，ln()<0，

∴ln()≤4ln()，

∴ln+ln＜4ln（）.∴.