Question

【題目】如圖，在三棱錐中，已知，，平面平面，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，連接.

（1）若，并異面直線與所成角的余弦值的大小；

（2）若二面角的余弦值的大小為，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）連接OC，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出、，利用向量法求出異面直線所成角的余弦值；

（2）設(shè)，證得是平面PAB的一個(gè)法向量，再求出平面PBC的一個(gè)法向量，從而可求出，再用勾股定理求出．

解：（1）連接OC，

∵平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，∴PO⊥平面ABC，所以PO⊥OC，

∵AC=BC，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，

∴OC⊥AB且，

如圖，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

．

，．

，，，

，．

從而， ．

∵，

∴異面直線PA與CD所成角的余弦值的大小為；

（2）設(shè)，則．∵ PO⊥OC，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB．

從而是平面PAB的一個(gè)法向量，

不妨設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，

∵，， ∴

不妨令x=1，則y=1，，則．

由已知，得，化簡(jiǎn)，得．

∴．