Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）令函數，若函數有且只有一個零點，試判斷與3的大小，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

(1)先求導，然后討論的大小，繼而求出函數的單調性

(2)對函數求二階導數，求出函數的單調性，然后結合零點得到關于的表達式，構造新函數后運用導數確定新函數的單調性，繼而得出關于零點問題

（1）,

①當，即時，時，，在上單調遞增.

②當，即時，時，

時，.

所以在上單調遞減，在單調遞增.

（2）函數，

則，令

則，所以在上單調遞增，

當且時，，時，

所以在上有唯一零點，

當時，，時，，所以為的最小值.

由已知函數有且只有一個零點，則，

所以，

，

令，

，

所以，，，，

所以在單調遞減，

因為，，

所以在上有一個零點，在無零點，

若在有零點必小于3，

綜上：.