Question

【題目】已知f（x）= ．
（1）證明：f（x）是定義域內的增函數；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵f（x）= = =1﹣ ．

∴f′（x）= ，

∵f′（x）＞0恒成立，

故f（x）是定義域R內的增函數

（2）當x→﹣∞時，102x→0， →2，f（x）→﹣1，

當x→+∞時，102x→+∞， →0，f（x）→1，

故f（x）的值域為（﹣1，1）

【解析】（1）求導，根據f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是定義域R內的增函數；（2）求出函數在x→﹣∞時和x→+∞時的極限值，進而可得函數的值域．
【考點精析】利用函數的值域和利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．